Воссоединение Сайнесс
Цена: 2 678руб. (¥126.7)
Артикул: 574802207673
Вес товара: ~0.7 кг. Указан усредненный вес, который может отличаться от фактического. Не включен в цену, оплачивается при получении.
Описание товараПродавец:当当官方旗舰店
Рейтинг:
Всего отзывов:0
Положительных:0
Добавить в корзину
Другие товары этого продавца
¥40.95866руб.
¥10.4220руб.
¥29613руб.
¥20.3429руб.
Научно-технические работники в области матричной алгебры, алгебры полиномов, автоматического управления и др., аспиранты по алгебре, автоматическому управлению и другим аналогичным специальностям вузов и вузов.ОглавлениеПредисловие
Объяснение символов в этой книге
Глава 1 Введение 1
1.1 Линейные векторные уравнения 1
1.2 Линейное матричное уравнение с одной переменной 5
1.2. 1 Матричное уравнение Ляпунова 5
1.2.2 Калмана-Якубовича и стандартные матричные уравнения Сильвестра 8
1.2.3 Другие матричные уравнения 14
1.3 Линейные матричные уравнения со многими переменными 17
1.3.1 Матричное уравнение Рота 17
1.3.2 Обобщенное матричное уравнение Сильвестра первого порядка 19
1.3.3 Обобщенное матричное уравнение Сильвестра второго порядка 25
1.3.4 Обобщенное матричное уравнение Сильвестра высокого порядка 26
1.3.5 Линейные матричные уравнения, содержащие более двух неизвестных матриц 28
1.4 Связанные линейные матричные уравнения 28
1.5 Комплексно-сопряженное матричное уравнение 31
1.6 Содержание этой книги 34
Глава 2 Основы математики 37
2.1 Кронекеровское произведение 37
2.2 Алгоритм Леверье 44
2.3 Обобщенный алгоритм Леверье 48
2.4 Разложение по сингулярным значениям 51
2.5. Векторная норма и операторная норма 54
2.5.1 Вектор нормы 54
2.5.2 Норма оператора 58
2.6 Действительное представление комплексных матриц 66
2.6.1 Основные свойства 66
2.6.2 Доказательство теоремы 2.7 71
2.7 Комбинированное сходство 75
2.8. Вещественные линейные пространства и вещественные линейные отображения 77
2.8.1 Реальное линейное пространство 78
2.8.2 Реальное линейное отображение 83
2.9 Реальное пространство внутреннего продукта 85
2.10 Примечания 89
Глава 3. Итерационный метод класса Смита 93
3.1 **Бесконечная серия, форма решения 93
3.2 Итерация Смита 97
3.3 Смит(л) итерация 99
3.4 Смит ускоряет итерацию 102
3.5 (m, r) – итерация Смита 108
3.6 Численные примеры 109
3.7 Примечания 112
Глава 4. Итерационный метод, основанный на иерархическом принципе 115
4.1 Расширенное матричное уравнение Сильвестра 117
4.1.1 Матричное уравнение AXB + CXD = F 117
4.1.2 Общая ситуация 122
4.1.3 Численные примеры 129
4.2 Связанное уравнение полной матрицы Сильвестра 132
4.2.1 Итерационный алгоритм 133
4.2.2 Анализ сходимости 134
4.2.3 Общая ситуация 141
4.2.4 Численные примеры 143
4.3 Комплексные матричные уравнения с сопряжением и транспонированием неизвестных матриц 144
4.3.1 Анализ сходимости 148
4.3.2 Численные примеры 153
4.4 Примечания 157
Глава 5. Методы конечной итерации 159
5.1 Обобщенное комбинированное матричное уравнение Сильвестра 159
5.1.1 Основные результаты 160
5.1.2 Некоторые особые ситуации 169
5.1.3 Численные примеры 172
5.2 Дополненное и комбинированное матричное уравнение Сильвестра 177
5.2.1 Матричное уравнение AXB + CXD = F 177
5.2.2 Общая ситуация 192
5.2.3 Численные примеры 194
5.3 Связанное уравнение полной матрицы Сильвестра 197
5.3.1 Итерационный алгоритм 197
5.3.2 Анализ сходимости 198
5.3.3 Общая ситуация 205
5.3.4 Численные примеры 207
5.3.5 Доказательство леммы 5.15 и леммы 5.16 213
5.4 Примечания 223
Глава 6. Метод реального представления 225.
6.1 Стандартное комбинированное уравнение матрицы Сильвестра 226
6.1.1 Условия разрешимости 226
6.1.2 ** Сексуальные состояния 230
6.1.3 Явное решение 233
6.2 Комбинированное матричное уравнение Калмана-Якубовича 241
6.2.1 Условия разрешимости 242
6.2.2 Явное решение 244
6.3 Комбинированное матричное уравнение Сильвестра 251
6.4 Комбинированное матричное уравнение Якубовича 261
6.5 Дополненные и комбинированные матричные уравнения Сильвестра 270?
6.6 Обобщенное комбинированное матричное уравнение Сильвестра 273
6.7 Примечания 276
Глава 7. Полиномиальные матричные методы 279
7.1 Однородная сумма Матрица Сильвестра уравнение 280
7.2 Неоднородное полное матричное уравнение Сильвестра 288
7.2.1 **метод 288
7.2.2 Второй метод 296
7.3 Комбинированное матричное уравнение Якубовича 297
7.3.1 **метод 298
7.3.2 Второй метод 309
7.4. Дополненные и комбинированные матричные уравнения Сильвестра 311
7.4.1 Базовое решение 312
7.4.2 Эквивалентные формы 316
7.4.3 Дальнейшее обсуждение 320
7.4.4 Численные примеры 322
7.5 Обобщенное комбинированное матричное уравнение Сильвестра 328
7.5.1 Базовое решение 328
7.5.2 Эквивалентные формы 331
7.5.3 Специальное решение 335
7.5.4 Численные примеры 338
7.6 Примечания 340
Глава 8. Метод односторонних матричных уравнений 343
8.1 Комбинированное матричное уравнение Сильвестра 344
8.2 Комбинированные матричные уравнения Якубовича 351
8.3 Примечания 358
Глава 9. Сопряженный продукт 359
9.1 Кольцо комплексных полиномов (C[s], +,) 359
9.2 Деление с остатком на (C[s], +,) 363
9.3. Какой общий делитель 366 в (C[s], +,)?
9.4 Взаимность в (C[s],+,) 370
9.5.Сопряженные произведения полиномиальных матриц 371
9.6 Одномодовая матрица и стандартная форма Смита 375
9.7 **Общие факторы 381
9.8 Взаимность полиномиальных матриц 384
9.9 Комбинированная эквивалентность и комбинированное сходство 387
9.10 Численные примеры 390
9.11 Примечания 393
Глава 10. Сочетание Сильвестра и методов 395
10.1 Вместе с Сильвестром и 395
10.2 Комбинированные матричные уравнения на основе полинома Сильвестра 400
10.2.1 Однородный случай 400
10.2.2 Неоднородный случай 403
10.3 Числовые примеры 406
10.4 Примечания 408
Ссылки 411
Индекс 433
Глава 1 ВведениеВ матричной алгебре теория матричных уравнений является очень активной областью исследований и получила широкое внимание ученых [1.6]. Различные типы матричных уравнений широко используются в различных областях, таких как связь, обработка сигналов и теория управления.Например, матричные уравнения Ляпунова часто возникают при анализе устойчивости линейных систем [7], а однородные непрерывные уравнения Ляпунова в виде блочных унитарных матриц играют важную роль при изучении разложения эрмитовых блочных ганкелевых матриц [8].Для матричного уравнения нам необходимо рассмотреть три основных вопроса: условия разрешимости, методы решения и выражения решения.Обширные результаты получены по этим задачам для вещественных матричных уравнений.Однако лишь в нескольких литературных источниках рассматриваются комплексные матричные уравнения с неизвестными операциями сопряжения матриц.В этой главе сначала дается обзор реальных матричных уравнений, затем рассказывается о последних достижениях исследований в области сложных матричных уравнений и, наконец, дается обзор содержания этой книги.
В этой главе мы используем следующие обозначения.Для двух наборов целочисленных представлений пусть A будет квадратной матрицей, тогда и представляют собой спектральный радиус, набор собственных значений, минимальное и ** собственные значения матрицы A соответственно.A, AT и AH представляют собой сопряженное, транспонированное и сопряженное транспонирование матрицы A соответственно.Re (A) и Im (A) представляют действительную и мнимую части матрицы A соответственно.Кроме того, мы используем Ai для представления блочной диагональной матрицы, блочными диагональными элементами которой являются Ai,.
Следует отметить, что эти обозначения используются на протяжении всей книги.
1.1 Линейные векторные уравнения
*Обычной системой линейных уравнений является следующий действительный вектор {матричное уравнение: Ах = b (1.1.1) где и известны, а вектор неизвестен.Если A — квадратная матрица, то необходимым и достаточным условием решения линейного уравнения (1.1.1) является обратимость матрицы A. В этот момент **решение уравнения: Кроме того, **решение также может быть выражено как где, xi — i-й элемент вектора x, а Ai — матрица, состоящая из вектор-столбца b, заменяющего i-й столбец матрицы A. Это закон Крамера.В общем случае матричное уравнение (1.1.1) имеет решение тогда и только тогда, когда Кроме того, разрешимость уравнения (1.1.1) также может быть охарактеризована обобщенным обратным, а общее выражение его решения также может быть задано в виде обобщенного обратного.
Определение 1.1[9, 10] Если для данной матрицы существует матрица, удовлетворяющая условиям, то X называется обобщенной обратной матрицей A.
Обобщенная обратная не является **, любая обобщенная обратная матрица A обозначается как A.
Теорема 1.1[10, 11] Для матрицы A2 Rm￡n, пусть A. — любая обобщенная обратная к A, тогда вектор {матричное уравнение (1.1.1) имеет ** решение тогда и только тогда, когда справедлива следующая формула: AA.b = b (1.1.2) Кроме того, если формула (1.1.2) верна, то все решения векторного {матричного уравнения (1.1.1) могут быть заданы выражением следующую формулу: где, z – любой n-мерный вектор.
Аналитическое решение уравнения (1.1.1), заданное обратным или обобщенным обратным, выражается в компактной форме и играет важную роль во многих теоретических анализах.Однако общепризнанным фактом является то, что операции обращения матрицы имеют низкую численную надежность.Поэтому в практических приложениях мы используем некоторые численные методы решения векторно-матричных уравнений.Эти методы можно разделить на две категории: один — метод преобразования, требующий приведения матрицы А к определенной стандартной форме; другой — итерационный метод, который аппроксимирует решение путем создания последовательности векторов и завершает итерационный процесс, как только приближенное решение достигает фактической требуемой точности.
Для матричного уравнения (1.1.1), где A – квадратная матрица, обычно используемые методы итерации включают итерацию Якоби и итерацию Гаусса-Зейделя.Пусть векторное (матричное уравнение (1.1.1) описывается как итерационный метод Гаусса-Зейделя и итерационный метод Якоби. Оба требуют, чтобы уравнение (1.1.1) имело ** решение, и все главные диагональные элементы матрицы A отличны от нуля, т.е. Предполагая, что начальное значение оцениваемого значения задано, итерационный метод Якоби получает **решение уравнения (1.1.1) посредством следующих итераций[12]: А итерационное правило Гаусса-Зейделя получает **решение уравнения (1.1.1) с помощью следующего процесса прямой замены[12]: Обратите внимание, что итерационный алгоритм Гаусса-Зейделя можно записать в следующей компактной форме: И Якоби Итерационный алгоритм можно выразить в следующей матричной форме: Легко понять, что необходимым и достаточным условием сходимости итерационного алгоритма Гаусса-Зейделя является, а необходимым и достаточным условием сходимости итерационного алгоритма Якоби является то, что алгоритм Гаусса-Зейделя использует ближайшее оцененное значение. Вообще говоря, его скорость сходимости выше, чем у алгоритма Якоби.
Что касается решения уравнения (1.1.1) при m = n, М. Дэвид, Янг-младший и Х. Франкель в 1950 году предложили модификацию итерационного алгоритма Гаусса-Зейделя [13], которая представляет собой так называемый метод последовательной сверхрелаксации (SOR). С помощью этого метода каждый элемент xi, i 2 I[1;n] вектора x может быть вычислена последовательно следующим методом прямой подстановки: где константа w>1 называется коэффициентом релаксации.Алгоритм можно компактно записать в следующем виде: Выбор коэффициента релаксации непрост и зависит от свойств матрицы A. Доказано, что если A — симметричная положительно определенная матрица, то при 0< w<Когда 2, метод SOR сходится.
Если A — симметричная положительно определенная матрица, уравнение (1.1.1) можно решить методом сопряженных градиентов, предложенным Хестенсом и Стифелем.Результат даёт следующая теорема.
Теорема 1.2. Учитывая симметричную положительно определенную матрицу A2 Rn￡n, уравнение (1.1.1) можно решить по следующему итерационному алгоритму: где начальные условия x(0), r(0) и p(0) известны и принимаются как x(0) = x0, p(0) = r(0) = b-Ax(0).
1.2 Линейное матричное уравнение с одной переменной
В этом разделе кратко представлены линейные матричные уравнения только с одной неизвестной матричной переменной.Рассмотрим сначала так называемое матричное уравнение Ля-Пунова.
1.2.1 Матричное уравнение Ляпунова
Наиболее распространенными матричными уравнениями с одной переменной являются непрерывные и дискретные матричные уравнения Ляпунова, которые играют важную роль в анализе устойчивости [7, 14], анализе управляемости и наблюдаемости [15] линейных систем.Непрерывные и дискретные матричные уравнения Ля-Пунова имеют соответственно следующий вид: ATX + XA = -Q (1.2.1) X -ATXA = Q (1.2.2) где матрица и симметричная положительно-полуопределенная матрица известны, а в литературе [16] и [17] обсуждается задача анализа робастной устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем соответственно, а граница допустимого возмущения матрицы системы задается решением соответствующего уравнения Ляпунова матричное уравнение.В литературе [18] рассматривается робастная устойчивость линейных непрерывных систем с немоделируемой динамикой и используется решение матричного уравнения Ляпунова номинальной линейной системы для определения допустимой границы нелинейной функции возмущения.В теории линейных систем хорошо известно, что управляемость и наблюдаемость системы могут определяться существованием симметричных положительно определенных решений соответствующих матричных уравнений Ляпунова [19].
В [20] и [21] непрерывные матричные уравнения Ляпунова используются для анализа взвешенной логнормы матриц и обобщенных положительно определенных матриц.В [22] обратное решение дискретного матричного уравнения Ляпунова используется для создания q-марковского покрытия системы с одним входом и одним выходом.В литературе [23] установлена связь между весовой нормой матрицы и соответствующим дискретным матричным уравнением Ляпунова, а также установлен итерационный алгоритм получения спектрального радиуса матрицы путем решения последовательности дискретных матричных уравнений Ляпунова.
Появилось также много результатов по решению матричных уравнений Ляпунова специального вида.В случае, когда матрица A имеет тип Шварца, а Q — диагональная матрица, в литературе [24] приведен явный метод решения непрерывного матричного уравнения Ляпунова (1.2.1).Когда АТ устойчив по Гурвицу и имеет следующий вид: и , решение матричного уравнения Ляпунова (1.2.1) можно получить с помощью таблицы Рауса [25].Когда A является дружественной матрицей, в литературе [26] представлен простой алгоритм для получения решения в замкнутой форме непрерывного матричного уравнения Ляпунова (1.2.1) через массив Рауса;в литературе [27] приведены решения, пригодные для символьной реализации двух указанных выше типов матричных уравнений Ляпунова.В литературе [28] рассмотрено дискретное матричное уравнение Ляпунова следующего вида: где пара матриц (F;G) – управляемая стандартная форма.В статье доказывается, что решение этого уравнения является обратной матрицей Шура-Кона, связанной с характеристическим полиномом F.
Если A устойчив по Гурвицу, то ** решение непрерывного матричного уравнения Ляпунова (1.2.1) может быть задано по следующей формуле [29]: (1.2.3) Далее, отметим Q = BBT и выразим матричную показательную функцию в виде следующего конечного степенного ряда относительно матрицы A: Тогда ** решение уравнения (1.2.1) также может быть задано по следующей формуле [30]: (1.2.4)
«Комплексно-сопряженные матричные уравнения» — научная монография по комплексно-сопряженным матричным уравнениям. В основном он знакомит с итерационным алгоритмом решения и методом явного решения комплексных сопряженных матричных уравнений.В число задействованных комплексных сопряженных матричных уравнений входят: комбинированные матричные уравнения Калмана-Якубовича, комбинированные матричные уравнения Сильвестра, комбинированные матричные уравнения Якубовича, обобщенные комбинированные матричные уравнения Сильвестра, связанные комбинированные матричные уравнения Сильвестра и т. д. Чтобы обеспечить явное решение класса комплексных сопряженных матричных уравнений, в книге «Комплексные сопряженные матричные уравнения» также вводится понятие сопряженного произведения, предложенное автором для комплексного полинома.матриц и систематически знакомит со свойствами этой операции.............